AI算法笔试题模拟-数学基础-2

2025-09-15

📘 模块一：数学基础扩展题（25题）

概率与统计（1–7）

Q1. 伯努利分布的方差是：

A. $p$
B. $p(1-p)$
C. $1-p$
D. $p^2$

✅ 答案：B

Q2. 设随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，则 $\mathbb{E}[X^2]$ 等于：

A. 0
B. 1
C. 2
D. 不确定

✅ 答案：B

Q3. 中心极限定理表明：

A. 样本均值趋向总体均值
B. 样本方差趋向总体方差
C. 独立同分布随机变量和的分布近似正态
D. 大数定律的加强版

✅ 答案：C

Q4. 泊松分布常用于描述：

A. 连续型随机变量
B. 稀有事件在固定区间内发生的次数
C. 样本均值分布
D. 极大似然估计

✅ 答案：B

Q5. KL 散度 $D_{KL}(P||Q)$ 具有的性质是：

A. 对称
B. 非负
C. 可以为负
D. 等于互信息

✅ 答案：B

Q6. 设两个独立事件 A、B，则有：

A. $P(A \cap B) = P(A) + P(B)$
B. $P(A \cap B) = P(A)P(B)$
C. $P(A \cap B) = 0$
D. 不一定

✅ 答案：B

Q7. 最大似然估计（MLE）的基本思想是：

A. 最小化样本熵
B. 最大化观测数据在模型下的概率
C. 最小化 KL 散度
D. 最大化后验概率

✅ 答案：B

线性代数（8–14）

Q8. 矩阵 $A$ 可逆的充要条件是：

A. 行列式为 0
B. 行列式不为 0
C. 秩小于行数
D. 存在零特征值

✅ 答案：B

Q9. 对称实矩阵一定可以：

A. 分解为 QR
B. 对角化
C. LU 分解
D. 低秩分解

✅ 答案：B

Q10. 特征值分解中，矩阵必须是：

A. 任意方阵
B. 对称矩阵
C. 正定矩阵
D. 可逆矩阵

✅ 答案：A

Q11. 奇异值分解 (SVD) 的形式是：

A. $A = UDV^T$
B. $A = QR$
C. $A = LU$
D. $A = LDL^T$

✅ 答案：A

Q12. 如果矩阵的条件数非常大，说明：

A. 矩阵接近奇异
B. 矩阵数值稳定
C. 矩阵一定稀疏
D. 矩阵正交

✅ 答案：A

Q13. 对角矩阵的特征值是：

A. 1
B. 对角元素
C. 行和
D. 列和

✅ 答案：B

Q14. 向量 $\ell_2$ 范数对应的是：

A. 向量中最大元素
B. 向量元素绝对值之和
C. 向量平方和开方
D. 向量平方和

✅ 答案：C

数值优化（15–20）

Q15. 一维函数最速下降法更新公式为：

A. $x_{k+1} = x_k - \alpha \nabla f(x_k)$
B. $x_{k+1} = x_k + \alpha \nabla f(x_k)$
C. $x_{k+1} = x_k - \alpha f(x_k)$
D. $x_{k+1} = x_k + \alpha f(x_k)$

✅ 答案：A

Q16. 牛顿法收敛速度通常是：

A. 线性
B. 次线性
C. 二次
D. 对数级别

✅ 答案：C

Q17. 凸函数的局部极小点：

A. 一定是全局极小点
B. 不一定是全局极小点
C. 一定是鞍点
D. 不存在

✅ 答案：A

Q18. 共轭梯度法常用于：

A. 解非线性优化问题
B. 解大型稀疏线性方程组
C. 解非凸优化问题
D. 解整数规划问题

✅ 答案：B

Q19. 拉格朗日乘子法用于：

A. 无约束优化
B. 有约束优化
C. 求线性回归参数
D. 求特征值

✅ 答案：B

Q20. 对偶问题的最优值：

A. 总是等于原始问题最优值
B. 总是不小于原始问题最优值
C. 总是不大于原始问题最优值
D. 与原始问题无关

✅ 答案：C

高等数学（21–25）

Q21. 若函数 $f(x)$ 在区间上连续，则必有：

A. 上界
B. 下界
C. 最大值和最小值
D. 极限不存在

✅ 答案：C

Q22. 泰勒展开主要用于：

A. 近似函数
B. 积分计算
C. 矩阵分解
D. 线性回归

✅ 答案：A

Q23. 偏导数存在的条件是：

A. 函数连续
B. 函数可微
C. 函数在方向上可微
D. 必须是凸函数

✅ 答案：C

Q24. 重积分的几何意义是：

A. 体积
B. 面积
C. 长度
D. 梯度

✅ 答案：A

Q25. 在梯度下降中，学习率过大可能导致：

A. 收敛更快
B. 震荡甚至发散
C. 更平滑的损失函数
D. 更小的偏差

✅ 答案：B