📘 模块一：数学基础（20题）

概率统计（1–7）

Q1. 设随机变量 $X \sim N(0,1)$，则 $Y=X^2$ 的期望为：

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 无法确定

✅ 答案：B （因为 $\mathbb{E}[X^2] = Var(X)=1$）

Q2. 两个独立随机变量 $X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(0,1)$，则 $X+Y$ 的分布为：

• A. $N(0,1)$
• B. $N(0,2)$
• C. $N(0,\sqrt{2})$
• D. $N(1,2)$

✅ 答案：B （方差相加）

Q3. 在极大似然估计 (MLE) 中，常见的目标函数是：

• A. 最大化后验概率
• B. 最大化对数似然函数
• C. 最小化 KL 散度
• D. 最大化先验概率

✅ 答案：B

Q4. 贝叶斯公式中，后验概率与哪两个量成正比？

• A. 似然和先验
• B. 似然和证据
• C. 先验和边缘分布
• D. 条件概率和边缘概率

✅ 答案：A

Q5. 若 $X, Y$ 独立，则 $\text{Cov}(X,Y)=$

• A. 0
• B. 1
• C. $\mathbb{E}[XY]$
• D. 无法确定

✅ 答案：A

Q6. 对于离散随机变量，熵的定义为：

• A. $-\sum p(x) \ln p(x)$
• B. $\sum p(x) \ln p(x)$
• C. $-\sum x \cdot p(x)$
• D. $\sum x \cdot p(x)$

✅ 答案：A

Q7. KL 散度 $D_{KL}(P||Q)$ 的性质是：

• A. 对称且非负
• B. 非对称且非负
• C. 对称但可能为负
• D. 非对称且可能为负

✅ 答案：B

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线性代数（8–14）

Q8. 矩阵 $A$ 的秩（rank）等于：

• A. 非零特征值个数
• B. 行数
• C. 列数
• D. 最大线性无关行（列）数

✅ 答案：D

Q9. 对称实矩阵一定可以：

• A. QR 分解
• B. LU 分解
• C. 对角化
• D. SVD

✅ 答案：C （对称实矩阵一定可正交对角化）

Q10. 矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，其 SVD 分解形式是：

• A. $A = U \Lambda U^T$
• B. $A = U \Sigma V^T$
• C. $A = LDU$
• D. $A = QR$

✅ 答案：B

Q11. 单位矩阵的所有特征值为：

• A. 0
• B. 1
• C. -1
• D. 任意

✅ 答案：B

Q12. 特征向量的缩放后性质是：

• A. 仍是特征向量
• B. 不再是特征向量
• C. 可能是也可能不是
• D. 取决于矩阵

✅ 答案：A

Q13. 若矩阵 $A$ 可逆，则其行列式 $|A|$：

• A. = 0
• B. > 0
• C. ≠ 0
• D. < 0

✅ 答案：C

Q14. 向量 $\mathbf{x}$ 的 $L_2$ 范数定义为：

• A. $\sum |x_i|$
• B. $\sqrt{\sum x_i^2}$
• C. $\max |x_i|$
• D. $\sum x_i^2$

✅ 答案：B

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数值优化（15–20）

Q15. 在梯度下降中，学习率过大可能导致：

• A. 收敛更快
• B. 发散
• C. 停滞不前
• D. 过拟合

✅ 答案：B

Q16. 牛顿法优化的核心是利用：

• A. 一阶导数
• B. 二阶导数（Hessian）
• C. 目标函数值
• D. 正则项

✅ 答案：B

Q17. 凸优化问题的全局最优解：

• A. 可能不存在
• B. 一定存在且唯一
• C. 一定存在，但不一定唯一
• D. 不可确定

✅ 答案：C

Q18. 梯度消失常见于：

• A. ReLU 激活
• B. Sigmoid 激活
• C. BatchNorm
• D. 残差网络

✅ 答案：B

Q19. Lagrange 乘子法主要用于：

• A. 无约束优化
• B. 有约束优化
• C. 动态规划
• D. 线性回归

✅ 答案：B

Q20. 随机梯度下降（SGD）的优势是：

• A. 精确解
• B. 收敛更快，计算量小
• C. 不需要学习率
• D. 永不震荡

✅ 答案：B