Table 是 Mathematica 中非常核心的生成数据和矩阵的方法，它既可以生成数值矩阵，也可以生成符号矩阵，非常灵活。

1. 基本用法

Table 的基本语法是：

Table[expr, {i, imax}]

• expr：表达式，可以是数值、符号或函数
• i：循环变量
• imax：循环上限（默认从 1 开始）

示例：

Table[i^2, {i, 5}]

输出：

{1, 4, 9, 16, 25}

相当于生成 i=1..5 的平方列表。

2. 指定起始值和步长

语法：

Table[expr, {i, imin, imax, step}]

• imin：起始值
• imax：结束值
• step：步长（可选，默认步长为 1）

示例：

Table[2 i, {i, 1, 5, 2}]

输出：

{2, 6, 10}

循环 i = 1, 3, 5。

3. 生成二维矩阵

要生成 n×m 矩阵，可以嵌套两个循环：

Table[a[i, j], {i, n}, {j, m}]

示例：生成 3×3 矩阵

Table[a[i, j], {i, 3}, {j, 3}] // MatrixForm

输出：

$$\begin{pmatrix} a[1,1] & a[1,2] & a[1,3] \\ a[2,1] & a[2,2] & a[2,3] \\ a[3,1] & a[3,2] & a[3,3] \end{pmatrix}$$

• 外层循环 {i, 3} → 行
• 内层循环 {j, 3} → 列

4. 符号矩阵示例

假设你想生成 n×n 的符号矩阵：

n = 4;
A = Table[a[i, j], {i, n}, {j, n}]
A // MatrixForm

输出：

$$\begin{pmatrix} a[1,1] & a[1,2] & a[1,3] & a[1,4] \\ a[2,1] & a[2,2] & a[2,3] & a[2,4] \\ a[3,1] & a[3,2] & a[3,3] & a[3,4] \\ a[4,1] & a[4,2] & a[4,3] & a[4,4] \end{pmatrix}$$

结合 Table，你可以生成任意复杂符号矩阵，比如上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵等等。

5. 带条件生成矩阵

Table 可以加 If 或条件生成特定元素：

• 生成上三角矩阵：

n = 4;
UpperTri = Table[If[j >= i, a[i, j], 0], {i, n}, {j, n}] // MatrixForm

输出：

$$\begin{pmatrix} a[1,1] & a[1,2] & a[1,3] & a[1,4] \\ 0 & a[2,2] & a[2,3] & a[2,4] \\ 0 & 0 & a[3,3] & a[3,4] \\ 0 & 0 & 0 & a[4,4] \end{pmatrix}$$

• 类似方法可以生成下三角、对称矩阵等。

6. 嵌套循环示例（复杂表达式）

你可以在 expr 中使用循环变量做任意运算：

Table[i + j^2, {i, 3}, {j, 3}]

输出：

{{2, 5, 10}, 
 {3, 6, 11}, 
 {4, 7, 12}}

• 每个元素是 i + j^2
• Mathematica 会自动按照行列生成列表的列表（矩阵形式）

7. 总结 Table 用法

功能	示例	说明
生成一维列表	Table[i^2, {i, 5}]	生成 i=1..5 的平方列表
指定步长	Table[2 i, {i, 1, 5, 2}]	循环 i=1,3,5
生成矩阵	Table[a[i,j],{i,3},{j,3}]	外层 i 行，内层 j 列
条件生成	Table[If[j>=i,a[i,j],0],{i,4},{j,4}]	上三角矩阵
嵌套表达式	Table[i+j^2,{i,3},{j,3}]	元素可自定义复杂表达式