Mathematica 矩阵与向量符号运算

Mathematica 符号矩阵和向量运算非常强大。下面我们一步步介绍基本操作。

1. 定义向量与矩阵

在 Mathematica 中：

• 向量就是列表。
• 矩阵是列表的列表。

v = {x, y, z}       (* 一个符号向量 *)
A = {{a, b}, {c, d}}   (* 一个 2x2 符号矩阵 *)

可以用 Dimensions 查看维度：

Dimensions[v]
Dimensions[A]

2. 矩阵操作

• 转置：

Transpose[A]

• 矩阵乘法 使用点号 .：

A.v     (* 矩阵乘向量 *)
A.A     (* 矩阵平方 *)

• Hadamard积

A*B      (* 每个对应元素相乘，不是矩阵乘法 *)

对于线性代数运算，千万不要用 * 替代 .。

• 行列式与逆矩阵：

Det[A]
Inverse[A]

• 单位矩阵：

IdentityMatrix[3]   (* 3x3 单位矩阵 *)

3. 符号线性代数

Mathematica 可以处理符号运算：

• 特征值与特征向量：

Eigenvalues[A]
Eigenvectors[A]

• 特征多项式：

CharacteristicPolynomial[A, λ]

• 求解线性方程组 $A x = b$：

Solve[A.{x1, x2} == {1, 0}, {x1, x2}]

4. 向量运算基础

对于符号向量：

• 点积：

Dot[v, v]   (* 输出 x^2 + y^2 + z^2 *)
v.v   (* 简便写法 *)

• 叉积：

Cross[{x1, x2, x3}, {y1, y2, y3}]

• 范数：

Norm[v]

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5. 美观输出

为了用传统数学形式显示矩阵，可以使用 MatrixForm：

A // MatrixForm

上面的后缀写法和如下写法等价：

MatrixForm[A]

⚠️ 注意：MatrixForm 仅用于显示，不用于计算。

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上面我们讲了：

• 定义向量/矩阵
• 进行符号代数运算
• 求解线性系统
• 计算特征值/特征向量

定义任意维度的符号向量与矩阵

Mathematica 的符号能力非常强，你可以不必写出所有元素，就能定义一般的 $n$ 维向量或 $n \times n$ 矩阵。

1. 长度为 n 的符号向量

v = Array[x, n]    (* 生成 {x[1], x[2], ..., x[n]} *)

示例：$n=5$

Array[x, 5]
(* {x[1], x[2], x[3], x[4], x[5]} *)

2. n×n 符号矩阵

A = Array[a, {n, n}]

生成：

$$\{ \{a[1,1], a[1,2], \dots \}, \dots, \{a[n,1], \dots, a[n,n]\} \}$$

例如 $n=3$：

Array[a, {3, 3}] // MatrixForm

3. 符号运算示例

你可以做：

• 矩阵乘向量：

A.v

• 求行列式：

Det[A]

• 特征多项式：

CharacteristicPolynomial[A, λ]

4. 常用预定义符号矩阵

• 单位矩阵：

IdentityMatrix[n]

• 零矩阵：

ConstantArray[0, {n, n}]

• 对角矩阵：

DiagonalMatrix[Array[d, n]]   (* 对角元素为 d[1], ..., d[n] *)

5. 维度假设

有时希望告诉 Mathematica $n$ 是正整数：

Assuming[n ∈ Integers && n > 0, Simplify[...]]

这在简化涉及 $n \times n$ 矩阵的符号表达式时非常有用。